Approfondimento
Derivate: Definizione, Regole e Formule
La derivata è uno dei concetti fondamentali del calcolo differenziale. Rappresenta il tasso di variazione istantaneo di una funzione rispetto alla sua variabile, ovvero indica quanto velocemente cambia il valore della funzione in un dato punto. Geometricamente, la derivata in un punto corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
Definizione Formale
La derivata di una funzione f(x) nel punto x è definita come il limite del rapporto incrementale:
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
Se questo limite esiste e è finito, la funzione si dice derivabile in quel punto. La funzione derivata f'(x) associa ad ogni punto x il valore della derivata, quando questa esiste.
Regole di Derivazione Fondamentali
| Regola | Funzione | Derivata |
|---|---|---|
| Costante | f(x) = k | f'(x) = 0 |
| Potenza | f(x) = xⁿ | f'(x) = n·xⁿ⁻¹ |
| Costante moltiplicativa | f(x) = k·g(x) | f'(x) = k·g'(x) |
| Somma | f(x) = g(x) + h(x) | f'(x) = g'(x) + h'(x) |
| Prodotto | f(x) = g(x)·h(x) | f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x) |
| Quoziente | f(x) = g(x)/h(x) | f'(x) = [g'(x)·h(x) - g(x)·h'(x)] / [h(x)]² |
| Catena (composizione) | f(x) = g(h(x)) | f'(x) = g'(h(x))·h'(x) |
La Regola della Catena
La regola della catena è forse la più importante tra le regole di derivazione, perché permette di derivare funzioni composte. Il principio è semplice: si deriva la funzione esterna valutata nella funzione interna, e si moltiplica per la derivata della funzione interna.
Esempio: derivare f(x) = (3x² + 1)⁵
- Funzione esterna: u⁵ → derivata: 5u⁴
- Funzione interna: u = 3x² + 1 → derivata: 6x
- f'(x) = 5(3x² + 1)⁴ · 6x = 30x(3x² + 1)⁴
Derivate delle Funzioni Notevoli
| Funzione f(x) | Derivata f'(x) |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| log_a(x) | 1/(x · ln(a)) |
| arcsin(x) | 1/√(1-x²) |
| arccos(x) | -1/√(1-x²) |
| arctan(x) | 1/(1+x²) |
| √x | 1/(2√x) |
Esempi di Derivazione
Esempio 1 — Regola del prodotto: derivare f(x) = x² · sin(x)
- f'(x) = 2x · sin(x) + x² · cos(x)
Esempio 2 — Regola del quoziente: derivare f(x) = (x + 1) / (x - 1)
- f'(x) = [1·(x-1) - (x+1)·1] / (x-1)² = -2 / (x-1)²
Esempio 3 — Catena con esponenziale: derivare f(x) = e^(3x²)
- f'(x) = e^(3x²) · 6x = 6x · e^(3x²)
Applicazioni della Derivata
- Studio di funzione: determinare crescenza, decrescenza, massimi e minimi (f'(x) = 0)
- Fisica: la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo; l'accelerazione è la derivata della velocità
- Economia: costo marginale, ricavo marginale, elasticità della domanda
- Ottimizzazione: trovare i valori che massimizzano o minimizzano una grandezza
- Approssimazione lineare: f(x₀ + h) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·h per h piccolo
Come Utilizzare il Calcolatore
Inserisci la funzione da derivare utilizzando la notazione matematica standard (es. x^2, sin(x), e^x, ln(x)). Il calcolatore applicherà automaticamente le regole di derivazione e restituirà la derivata semplificata, mostrando i passaggi intermedi. Puoi anche calcolare derivate di ordine superiore (derivata seconda, terza, ecc.).
