Le derivate sono uno dei concetti fondamentali del calcolo infinitesimale e trovano applicazione in fisica, ingegneria, economia e in tutte le scienze quantitative. Comprendere le regole di derivazione e saperle applicare correttamente è essenziale per affrontare lo studio di funzione, l’ottimizzazione e la modellizzazione matematica. In questa guida completa presentiamo la teoria, le regole, le formule e numerosi esempi svolti passo per passo.
Cos’è la Derivata di una Funzione
La derivata di una funzione f(x) in un punto x₀ rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione in quel punto. Geometricamente, corrisponde al coefficiente angolare (pendenza) della retta tangente al grafico della funzione nel punto considerato.
Definizione Formale
La derivata di f nel punto x₀ è definita come il limite del rapporto incrementale:
f'(x₀) = lim [f(x₀ + h) – f(x₀)] / h per h che tende a 0
Se questo limite esiste ed è finito, si dice che f è derivabile in x₀. La funzione derivata f'(x) si ottiene calcolando questo limite per un generico punto x del dominio.
Notazioni
La derivata di f(x) può essere indicata con diverse notazioni equivalenti:
| Notazione | Autore | Significato |
|---|---|---|
| f'(x) | Lagrange | Derivata prima di f |
| df/dx | Leibniz | Derivata di f rispetto a x |
| Df(x) | Eulero | Operatore derivata applicato a f |
| f con punto sopra | Newton | Usata soprattutto in fisica (derivata rispetto al tempo) |
Significato Geometrico
Se consideriamo il grafico di f(x), il rapporto incrementale [f(x₀ + h) – f(x₀)] / h rappresenta il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti (x₀, f(x₀)) e (x₀ + h, f(x₀ + h)). Al tendere di h a zero, la secante “ruota” fino a diventare la retta tangente, e il suo coefficiente angolare è proprio la derivata.
Derivate delle Funzioni Elementari
Prima di affrontare le regole di derivazione, è fondamentale conoscere le derivate delle funzioni base. Queste vanno memorizzate e rappresentano i “mattoncini” con cui costruire derivate più complesse.
| Funzione f(x) | Derivata f'(x) | Note |
|---|---|---|
| c (costante) | 0 | La derivata di una costante è sempre zero |
| x | 1 | Caso particolare di x^n con n=1 |
| x^n | n · x^(n-1) | Per ogni n reale (regola della potenza) |
| √x = x^(1/2) | 1 / (2√x) | Caso particolare di x^n con n=1/2 |
| 1/x = x^(-1) | -1/x² | Caso particolare di x^n con n=-1 |
| e^x | e^x | L’esponenziale è uguale alla propria derivata |
| a^x | a^x · ln(a) | Per a > 0, a ≠ 1 |
| ln(x) | 1/x | Per x > 0 |
| log_a(x) | 1 / (x · ln(a)) | Logaritmo in base a |
| sin(x) | cos(x) | Angolo in radianti |
| cos(x) | -sin(x) | Angolo in radianti |
| tan(x) | 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) | Dove cos(x) ≠ 0 |
| arcsin(x) | 1 / √(1-x²) | Per |x| < 1 |
| arccos(x) | -1 / √(1-x²) | Per |x| < 1 |
| arctan(x) | 1 / (1+x²) | Per ogni x reale |
Le Regole di Derivazione
Regola della Costante Moltiplicativa
[c · f(x)]’ = c · f'(x)
Una costante moltiplicativa “esce” dalla derivata.
Esempio: D[5x³] = 5 · 3x² = 15x²
Regola della Somma (e della Differenza)
[f(x) ± g(x)]’ = f'(x) ± g'(x)
La derivata della somma è la somma delle derivate.
Esempio: D[x³ + 2x² – 7x + 4] = 3x² + 4x – 7
Regola del Prodotto
[f(x) · g(x)]’ = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
La derivata del prodotto di due funzioni si calcola derivando la prima e moltiplicando per la seconda, poi sommando la prima moltiplicata per la derivata della seconda.
Esempio: D[x² · sin(x)] = 2x · sin(x) + x² · cos(x)
Regola del Quoziente
[f(x) / g(x)]’ = [f'(x) · g(x) – f(x) · g'(x)] / [g(x)]²
Attenzione all’ordine: “derivata del numeratore per denominatore, meno numeratore per derivata del denominatore, tutto diviso denominatore al quadrato”.
Esempio: D[x / (x² + 1)] = [1 · (x² + 1) – x · 2x] / (x² + 1)² = (1 – x²) / (x² + 1)²
Regola della Catena (Funzione Composta)
[f(g(x))]’ = f'(g(x)) · g'(x)
La regola della catena è la più importante e più utilizzata. Si deriva la funzione esterna valutata nella funzione interna, e si moltiplica per la derivata della funzione interna.
Esempio: D[sin(3x²)] = cos(3x²) · 6x
Esempio: D[e^(x² + 1)] = e^(x² + 1) · 2x
Esempio: D[ln(x² + 5)] = [1/(x² + 5)] · 2x = 2x/(x² + 5)
Regola della Potenza Generalizzata
[f(x)^n]’ = n · [f(x)]^(n-1) · f'(x)
Combinazione della regola della potenza con la regola della catena.
Esempio: D[(3x + 2)³] = 5(3x + 2)² · 3 = 15(3x + 2)²
Esempi Svolti Passo per Passo
Esempio 1: Derivata di un Polinomio
Calcolare f'(x) per f(x) = 4x⁵ – 3x³ + 2x² – 7x + 1
Applichiamo la regola della somma e la regola della potenza termine per termine:
- D[4x⁵] = 20x⁴
- D[-3x³] = -9x²
- D[2x²] = 4x
- D[-7x] = -7
- D[1] = 0
f'(x) = 20x⁴ – 9x² + 4x – 7
Esempio 2: Regola del Prodotto
Calcolare la derivata di f(x) = x² · e^x
Poniamo u = x² e v = e^x. Allora u’ = 2x e v’ = e^x.
f'(x) = u’v + uv’ = 2x · e^x + x² · e^x = e^x(2x + x²) = e^x · x(x + 2)
Esempio 3: Regola del Quoziente
Calcolare la derivata di f(x) = (x² – 1) / (x² + 1)
Numeratore: f = x² – 1, f’ = 2x. Denominatore: g = x² + 1, g’ = 2x.
f'(x) = [2x(x² + 1) – (x² – 1) · 2x] / (x² + 1)²
= [2x³ + 2x – 2x³ + 2x] / (x² + 1)²
= 4x / (x² + 1)²
Esempio 4: Regola della Catena (Multipla)
Calcolare la derivata di f(x) = sin²(3x) = [sin(3x)]²
Abbiamo tre livelli: potenza, seno, funzione lineare.
- Derivata della potenza: 2 · sin(3x)
- Per la derivata del seno: cos(3x)
- Per la derivata della funzione interna 3x: 3
f'(x) = 2 · sin(3x) · cos(3x) · 3 = 6 sin(3x) cos(3x) = 3 sin(6x)
(Nell’ultimo passaggio abbiamo usato l’identità 2 sin(α) cos(α) = sin(2α))
Esempio 5: Funzione Logaritmica Composta
Calcolare la derivata di f(x) = ln(√(x² + 1))
Semplifichiamo prima: f(x) = (1/2) · ln(x² + 1)
f'(x) = (1/2) · [2x / (x² + 1)] = x / (x² + 1)
Esempio 6: Derivata di Funzione Esponenziale Composta
Calcolare la derivata di f(x) = e^(sin(x))
Per la regola della catena:
f'(x) = e^(sin(x)) · D[sin(x)] = e^(sin(x)) · cos(x) = cos(x) · e^(sin(x))
Applicazioni delle Derivate
1. Retta Tangente a una Curva
La derivata f'(x₀) fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto (x₀, f(x₀)). L’equazione della retta tangente è:
y – f(x₀) = f'(x₀) · (x – x₀)
Esempio: retta tangente a f(x) = x² nel punto x₀ = 3.
- f(3) = 9, f'(x) = 2x, f'(3) = 6
- y – 9 = 6(x – 3) → y = 6x – 9
2. Massimi e Minimi (Ottimizzazione)
I punti di massimo e minimo relativo di una funzione si trovano dove la derivata si annulla (punti stazionari) e cambia segno:
- Se f'(x) passa da positiva a negativa: massimo relativo
- Se f'(x) passa da negativa a positiva: minimo relativo
- Se f'(x) non cambia segno: punto di flesso a tangente orizzontale
In alternativa, si può usare il criterio della derivata seconda: se f'(x₀) = 0 e f”(x₀) > 0 → minimo; se f”(x₀) < 0 → massimo.
3. Studio della Crescenza e Decrescenza
La derivata indica dove una funzione cresce o decresce:
- f'(x) > 0: la funzione è crescente
- f'(x) < 0: la funzione è decrescente
- f'(x) = 0: la funzione ha un punto stazionario
4. Velocità e Accelerazione in Fisica
Se s(t) rappresenta la posizione di un oggetto nel tempo:
- Velocità: v(t) = s'(t) (derivata prima della posizione)
- Accelerazione: a(t) = v'(t) = s”(t) (derivata seconda della posizione)
Esempio: se s(t) = 5t² + 3t + 2 (posizione in metri, tempo in secondi):
- v(t) = 10t + 3 m/s (velocità)
- a(t) = 10 m/s² (accelerazione costante)
5. Tasso di Variazione in Economia
Se C(q) è la funzione di costo totale in funzione della quantità prodotta q:
- Costo marginale: C'(q) = derivata del costo totale, indica il costo aggiuntivo per produrre un’unità in più
- Ricavo marginale: R'(q) = derivata del ricavo totale
- Profitto massimo: si ottiene quando R'(q) = C'(q)
Derivate di Ordine Superiore
La derivata di una derivata si chiama derivata seconda, indicata con f”(x) o d²f/dx². Si possono calcolare derivate di qualsiasi ordine:
| Ordine | Notazione | Significato |
|---|---|---|
| Prima | f'(x) | Tasso di variazione, pendenza |
| Seconda | f”(x) | Concavità, accelerazione |
| Terza | f”'(x) | Variazione dell’accelerazione (jerk in fisica) |
| n-esima | f^(n)(x) | Derivata di ordine n |
Esempio: f(x) = x⁴ – 3x³ + x
- f'(x) = 4x³ – 9x² + 1
- f”(x) = 12x² – 18x
- f”'(x) = 24x – 18
- f⁴(x) = 24
- f⁵(x) = 0
Errori Comuni nel Calcolo delle Derivate
Ecco gli errori più frequenti da evitare:
| Errore | Sbagliato | Corretto |
|---|---|---|
| Dimenticare la regola della catena | D[sin(3x)] = cos(3x) | D[sin(3x)] = 3cos(3x) |
| Prodotto derivato come prodotto delle derivate | D[x² · sin(x)] = 2x · cos(x) | D[x² · sin(x)] = 2x sin(x) + x² cos(x) |
| Ordine sbagliato nel quoziente | D[f/g] = (fg’ – f’g)/g² | D[f/g] = (f’g – fg’)/g² |
| Derivata di e^x con coefficiente | D[e^(2x)] = e^(2x) | D[e^(2x)] = 2e^(2x) |
| Segno del coseno | D[cos(x)] = sin(x) | D[cos(x)] = -sin(x) |
Domande Frequenti (FAQ)
Qual è la differenza tra derivata e differenziale?
La derivata f'(x) è un numero (o una funzione) che rappresenta il tasso di variazione istantaneo. Il differenziale df = f'(x) · dx è un’approssimazione lineare della variazione della funzione. La derivata è il rapporto tra i differenziali: f'(x) = df/dx.
Tutte le funzioni sono derivabili?
No. Una funzione deve essere continua per essere derivabile, ma la continuità non è sufficiente. Ad esempio, f(x) = |x| è continua in x = 0 ma non derivabile (ha un “angolo”). Esistono anche funzioni continue ovunque ma derivabili in nessun punto (funzione di Weierstrass).
A cosa serve la derivata seconda?
La derivata seconda fornisce informazioni sulla concavità della funzione: se f”(x) > 0 la funzione è concava verso l’alto (convessa), se f”(x) < 0 è concava verso il basso. Serve anche per determinare la natura dei punti stazionari e per trovare i punti di flesso (dove f”(x) = 0 e cambia segno).
Come si deriva una funzione elevata a funzione?
Per funzioni del tipo f(x)^g(x) si utilizza la derivazione logaritmica: si pone y = f(x)^g(x), si prende il logaritmo di entrambi i membri (ln y = g(x) · ln f(x)) e si deriva implicitamente. Il risultato è: y’ = f(x)^g(x) · [g'(x) · ln f(x) + g(x) · f'(x)/f(x)].
La derivata di una somma è sempre la somma delle derivate?
Sì, la derivata gode della proprietà di linearità: la derivata della somma (o differenza) di funzioni è la somma (o differenza) delle derivate. Attenzione: questa proprietà non vale per il prodotto né per il quoziente.
Come si calcolano le derivate di funzioni implicite?
Per funzioni definite implicitamente da un’equazione F(x, y) = 0, si deriva entrambi i membri rispetto a x, trattando y come funzione di x (applicando la regola della catena ogni volta che compare y), e poi si isola dy/dx. Ad esempio, da x² + y² = 1 si ottiene 2x + 2y · y’ = 0, da cui y’ = -x/y.
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