Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri è il più piccolo numero intero positivo che sia multiplo di tutti. Si calcola scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando i fattori comuni e non comuni, ciascuno preso una sola volta con l’esponente più grande. Esempio: l’mcm di 4 e 6 è 12, perché 12 è il primo numero che si divide esattamente sia per 4 sia per 6.
Questa è la regola da ricordare. Sotto trovi tre modi per arrivarci, dal più intuitivo al più rapido, con esempi svolti passo per passo e gli errori che a scuola costano più punti. Se ti serve solo il risultato, il calcolatore del minimo comune multiplo lo trova in un attimo; se devi saperlo fare a mano, continua a leggere.
Che cos’è il minimo comune multiplo, in parole semplici?
Un multiplo di un numero è quel numero moltiplicato per 1, 2, 3 e così via. I multipli di 4 sono 4, 8, 12, 16, 20, 24…; quelli di 6 sono 6, 12, 18, 24, 30…
Alcuni compaiono in entrambe le liste: 12, 24, 36. Sono i multipli comuni. Il più piccolo dei tre è 12, ed è lui il minimo comune multiplo.
Si scrive mcm(4, 6) = 12. Vale per due numeri come per tre, quattro o più: il ragionamento non cambia.
Come si calcola l’mcm con l’elenco dei multipli?
È il metodo che si impara per primo, e per numeri piccoli funziona benissimo. Si scrivono i multipli di ciascun numero finché non si trova il primo che compare in tutte le liste.
Prendiamo 6 e 8:
- multipli di 6: 6, 12, 18, 24, 30…
- multipli di 8: 8, 16, 24, 32…
Il primo numero in comune è 24, quindi mcm(6, 8) = 24.
Il limite si vede subito con numeri più grandi. Con 84 e 90 dovresti scrivere decine di multipli prima di incontrare quello giusto. Per questo, appena i numeri salgono oltre le tabelline, conviene passare alla scomposizione.
Come si calcola l’mcm con la scomposizione in fattori primi?
È il metodo che chiedono a scuola e quello che funziona sempre. Tre passaggi.
- Scomponi ogni numero in fattori primi.
- Prendi tutti i fattori che compaiono, comuni e non comuni, ciascuno una sola volta e con l’esponente più grande.
- Moltiplicali tra loro.
Esempio con tre numeri: 12, 18 e 20.
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
- 20 = 2² × 5
I fattori presenti sono 2, 3 e 5. Il 2 compare al massimo al quadrato (in 12 e in 20), il 3 al massimo al quadrato (in 18), il 5 una volta sola (in 20). Quindi:
mcm(12, 18, 20) = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180
La verifica è immediata: 180 ÷ 12 = 15, 180 ÷ 18 = 10, 180 ÷ 20 = 9. Tre divisioni esatte, il conto torna.
Il punto delicato è l’esponente. Nel 2 di 18 l’esponente è 1, in 12 e in 20 è 2: si prende il 2, non l’1 e nemmeno la somma.
Il metodo della tabella (divisioni in colonna)
È la stessa scomposizione, solo fatta per tutti i numeri insieme. Scrivi i numeri in riga e dividili per un numero primo che ne divida almeno uno; quelli che non si dividono li ricopi così come sono. Vai avanti finché la riga diventa tutta di 1.
Con 12, 18 e 20:
- ÷ 2 → 6, 9, 10
- ÷ 2 → 3, 9, 5
- ÷ 3 → 1, 3, 5
- ÷ 3 → 1, 1, 5
- ÷ 5 → 1, 1, 1
Moltiplichi i divisori usati: 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180. Stesso risultato. Molti studenti lo trovano più ordinato, perché non si rischia di dimenticare un fattore per strada.
Esiste una formula veloce per l’mcm di due numeri?
Sì, e passa dal massimo comun divisore (MCD). Per due numeri a e b vale:
mcm(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b)
Con 24 e 36: il MCD è 12, il prodotto è 24 × 36 = 864, e 864 ÷ 12 = 72. Quindi mcm(24, 36) = 72. Controllo: 72 ÷ 24 = 3 e 72 ÷ 36 = 2.
Conviene quando il MCD lo conosci già o lo trovi a occhio. Attenzione però: la formula vale per due numeri alla volta. Con tre o più numeri si applica a coppie (prima mcm dei primi due, poi mcm di quel risultato con il terzo), oppure si torna alla scomposizione. Come si trova il MCD lo spieghiamo nella guida al massimo comun divisore.
Che differenza c’è tra mcm e MCD?
Si confondono spesso perché si calcolano con gli stessi fattori primi. Cambia solo cosa si prende.
- MCD: solo i fattori comuni, con l’esponente più piccolo. Il risultato è minore o uguale al numero più piccolo.
- mcm: fattori comuni e non comuni, con l’esponente più grande. Il risultato è maggiore o uguale al numero più grande.
Con 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3²: il MCD è 2 × 3 = 6, l’mcm è 2² × 3² = 36. E infatti 6 × 36 = 216, che è proprio 12 × 18. Non è una coincidenza: per due numeri il prodotto di MCD e mcm è sempre uguale al prodotto dei numeri, ed è da qui che nasce la formula vista sopra.
Un trucco per non sbagliare: il MCD “divide” i numeri, quindi è piccolo; l’mcm è un loro “multiplo”, quindi è grande. Se ti esce un mcm più piccolo di uno dei numeri di partenza, hai calcolato il MCD.
Ci sono casi in cui l’mcm si trova senza fare conti?
Due, e capitano spesso negli esercizi.
Se un numero è multiplo dell’altro, l’mcm è il numero più grande. mcm(5, 15) = 15, mcm(7, 28) = 28.
Se i due numeri non hanno fattori in comune (si dicono primi tra loro, o coprimi), l’mcm è il loro prodotto. mcm(8, 9) = 72, perché 8 = 2³ e 9 = 3² non condividono nessun fattore. Lo stesso vale per due numeri primi diversi: mcm(7, 11) = 77.
A cosa serve l’mcm nelle frazioni?
È l’uso più frequente. Per sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi serve un denominatore comune, e il più comodo è proprio l’mcm dei denominatori.
Esempio: 5/12 + 7/18.
- mcm(12, 18) = 36
- 5/12 diventa 15/36 (36 ÷ 12 = 3, e 5 × 3 = 15)
- 7/18 diventa 14/36 (36 ÷ 18 = 2, e 7 × 2 = 14)
- 15/36 + 14/36 = 29/36
Si potrebbe usare anche 12 × 18 = 216 come denominatore, e il risultato sarebbe corretto lo stesso. Però poi andrebbe semplificato, con numeri più grandi e più occasioni di sbagliare. Con l’mcm la frazione esce già ridotta ai termini minimi più spesso. Tutti i passaggi sulle operazioni con le frazioni sono nella guida al calcolo delle frazioni.
Un esempio fuori dai libri: quando ripartono insieme due autobus?
I problemi con l’mcm sono quelli in cui due cose si ripetono a intervalli diversi e si vuole sapere quando coincidono di nuovo.
Ipotizziamo due linee di autobus che partono dallo stesso capolinea alle 8:00: la prima passa ogni 12 minuti, la seconda ogni 18. La domanda è quando partiranno di nuovo insieme. Si cerca il primo istante che sia multiplo sia di 12 sia di 18, cioè mcm(12, 18) = 36. Le due linee si ritrovano dopo 36 minuti, alle 8:36.
Lo stesso schema vale per i turni di lavoro che si incrociano, le ruote dentate che tornano nella posizione iniziale, i promemoria con periodicità diverse. Se il testo parla di “ripetersi” o “coincidere di nuovo”, quasi sempre serve l’mcm.
Quali sono gli errori più comuni?
Nella pratica gli sbagli sono quasi sempre gli stessi.
- Prendere solo i fattori comuni. Così si ottiene il MCD, non l’mcm.
- Prendere l’esponente più piccolo invece del più grande. Altro errore che porta verso il MCD.
- Contare due volte lo stesso fattore. Se il 2 compare come 2² in un numero e come 2 in un altro, nell’mcm entra solo 2², non 2² × 2.
- Moltiplicare semplicemente i numeri. Il prodotto è sempre un multiplo comune, ma è il minimo solo se i numeri sono primi tra loro. mcm(12, 18) è 36, non 216.
- Sbagliare la scomposizione. Un fattore dimenticato all’inizio rovina tutto il resto: prima di moltiplicare, rimetti insieme i fattori e controlla che ridiano il numero di partenza.
Il controllo finale che consigliamo sempre è il più semplice: dividi l’mcm trovato per ciascuno dei numeri. Se tutte le divisioni sono esatte, il risultato è un multiplo comune; se poi l’hai costruito con gli esponenti massimi e senza fattori in più, è anche il minimo.
Come verificare il risultato in pochi secondi?
Dopo aver fatto il conto a mano, puoi inserire i numeri nel calcolatore mcm e confrontare. È utile soprattutto con tre o più numeri, o quando la scomposizione è lunga: se i due risultati non coincidono, sai che devi ricontrollare i fattori primi, e spesso l’errore salta fuori al primo passaggio.
Per le verifiche in classe, però, il metodo da saper fare resta la scomposizione: è quello che l’insegnante vuole vedere scritto.
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