L’area del trapezio si calcola così: somma la base maggiore e la base minore, moltiplica per l’altezza e dividi per 2. In formula, A = (B + b) × h / 2. Con una base maggiore di 10 cm, una minore di 6 cm e un’altezza di 4 cm: (10 + 6) × 4 / 2 = 32 cm².
La stessa formula vale per tutti i trapezi: scaleno, isoscele e rettangolo. Cambia solo il modo di trovare l’altezza quando il testo dell’esercizio non te la dà. Più sotto ci sono anche rettangolo e quadrato, con la diagonale, perché nei compiti arrivano quasi sempre insieme.
Quali sono gli elementi del trapezio che entrano nella formula?
Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli. Quei due lati sono le basi: la più lunga è la base maggiore (B), l’altra la base minore (b). Gli altri due lati si chiamano lati obliqui.
L’altezza (h) è la distanza tra le due basi, misurata in perpendicolare. Non è il lato obliquo. È l’errore più frequente in assoluto, e porta a un’area più grande del vero, perché il lato obliquo è sempre più lungo dell’altezza (tranne nel trapezio rettangolo, dove uno dei due lati coincide con l’altezza).
I passaggi, nell’ordine:
- somma le due basi (B + b);
- moltiplica il risultato per l’altezza;
- dividi per 2;
- scrivi l’unità al quadrato: cm², m², mm².
Perché si sommano le basi e si divide per 2?
Prendi due trapezi identici. Capovolgi il secondo e accostalo al primo lungo un lato obliquo: ottieni un parallelogramma. La sua base è B + b, perché sotto c’è la base maggiore di un trapezio affiancata alla minore dell’altro, e la sua altezza è la stessa del trapezio.
L’area del parallelogramma è base per altezza, cioè (B + b) × h. Il trapezio ne è esattamente la metà. Da qui il diviso 2.
Si può leggere la formula anche in un altro modo: (B + b) / 2 è la media delle due basi. L’area del trapezio è quella di un rettangolo largo quanto la base media e alto quanto il trapezio. Con l’esempio di apertura, base media 8 cm per 4 cm di altezza: di nuovo 32 cm².
Come si trova l’altezza del trapezio se non è data?
Si usa il teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo che si forma tracciando l’altezza da un vertice della base minore. L’ipotenusa di quel triangolo è il lato obliquo; un cateto è l’altezza; l’altro cateto è la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore.
Trapezio isoscele. I lati obliqui sono uguali, quindi le due proiezioni sono uguali e valgono (B − b) / 2. Esempio: B = 14 cm, b = 8 cm, lato obliquo 5 cm. Proiezione = (14 − 8) / 2 = 3 cm. Altezza = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm. Area = (14 + 8) × 4 / 2 = 44 cm².
Trapezio rettangolo. Un lato è perpendicolare alle basi ed è già l’altezza. Se invece conosci solo il lato obliquo, la proiezione è tutta la differenza B − b. Esempio: B = 16 cm, b = 10 cm, lato obliquo 10 cm. Proiezione = 6 cm, altezza = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm. Area = (16 + 10) × 8 / 2 = 104 cm².
Per le radici che non escono intere serve una calcolatrice scientifica, oppure il tasto √ di quella del telefono.
Quali sono le formule inverse del trapezio?
Servono quando il problema ti dà l’area e ti chiede un’altra misura. Partono tutte dalla stessa idea: il doppio dell’area è uguale a (B + b) × h.
- altezza: h = 2A / (B + b);
- somma delle basi: B + b = 2A / h;
- base maggiore: B = 2A / h − b;
- base minore: b = 2A / h − B.
Esempio: area 32 cm², altezza 4 cm, base minore 6 cm. Il doppio dell’area è 64; diviso l’altezza fa 16, che è la somma delle basi. Tolta la base minore, la maggiore è 10 cm. Torna con l’esempio iniziale, ed è proprio il controllo da fare a fine esercizio.
Come si calcola l’area del rettangolo?
Base per altezza: A = b × h. Un rettangolo di 8 cm per 5 cm ha un’area di 40 cm².
C’è un collegamento utile con il trapezio. Se nella formula del trapezio metti due basi uguali, (b + b) × h / 2 diventa b × h: il rettangolo è il caso in cui le due basi coincidono. Una formula in meno da tenere a mente.
Le formule inverse sono immediate: base = A / h, altezza = A / b. Il perimetro invece è 2 × (b + h), nell’esempio 26 cm. Non confonderli: il perimetro si misura in cm, l’area in cm².
La diagonale del rettangolo si ricava con Pitagora, perché taglia il rettangolo in due triangoli rettangoli: d = √(b² + h²). Con 8 e 5 cm, √(64 + 25) = √89, circa 9,43 cm.
Come si calcola l’area del quadrato?
Lato per lato: A = l². Un quadrato di lato 6 cm ha un’area di 36 cm². Il quadrato è un rettangolo con base e altezza uguali, quindi la formula è la stessa scritta in modo più corto.
Se conosci l’area e cerchi il lato, fai la radice quadrata: con un’area di 49 cm² il lato è 7 cm.
Se invece hai la diagonale, c’è una scorciatoia che in pochi ricordano: A = d² / 2. Con una diagonale di 10 cm l’area è 100 / 2 = 50 cm², senza passare dal lato. Funziona perché il quadrato è anche un rombo, e l’area del rombo è diagonale per diagonale diviso 2.
Come si calcola la diagonale del quadrato?
Si moltiplica il lato per la radice di 2: d = l × √2, con √2 che vale circa 1,414. Un quadrato di lato 5 cm ha una diagonale di circa 7,07 cm.
La formula viene sempre da Pitagora: d = √(l² + l²) = √(2l²) = l × √2. Al contrario, dalla diagonale si torna al lato dividendo: l = d / √2. Con una diagonale di 10 cm il lato è circa 7,07 cm, e l’area è di nuovo 50 cm², come sopra.
Un consiglio pratico: nei calcoli lascia √2 com’è fino all’ultimo passaggio e arrotonda solo il risultato finale. Se arrotondi a metà strada, l’errore si porta avanti.
Dove serve l’area del trapezio fuori dai compiti?
In casa, più spesso di quanto sembri. La parete di una mansarda, un terreno con un confine inclinato, un’aiuola, lo spicchio di un tetto a padiglione: sono tutti trapezi.
Un caso ipotetico: una parete di mansarda larga 4 m, alta 2,70 m da un lato e 1,50 m dall’altro, con il soffitto inclinato in linea retta. Qui i lati paralleli sono i due verticali, e l’«altezza» del trapezio è la larghezza a terra, 4 m. Area = (2,70 + 1,50) × 4 / 2 = 8,4 m². È il numero da usare per la pittura o per il cartongesso.
L’esempio mostra una cosa che sui libri si vede poco: le basi non devono per forza stare in orizzontale. Contano i lati paralleli, comunque sia girata la figura. Per stanze e superfici più irregolari il metodo è spezzare tutto in rettangoli, triangoli e trapezi e sommare le aree. È spiegato passo per passo nella guida al calcolo dei metri quadrati, e per i conti di casa c’è anche il calcolatore dei metri quadri.
Quali sono gli errori più comuni?
- usare il lato obliquo al posto dell’altezza;
- dimenticare il diviso 2: (B + b) × h è l’area del parallelogramma, non del trapezio;
- moltiplicare le basi tra loro invece di sommarle;
- nel trapezio isoscele, usare B − b come proiezione invece della sua metà;
- confondere area e perimetro del rettangolo;
- mescolare centimetri e metri nello stesso conto, o dimenticare l’unità al quadrato (1 m² = 10.000 cm², non 100).
Si può fare con un calcolatore online?
Sì. Il calcolatore di area e volume ha le schede di rettangolo, triangolo e cerchio e riporta in tabella la formula del trapezio. Una scheda dedicata al trapezio non c’è, ma il risultato si ottiene lo stesso. Nella scheda del triangolo metti come base la somma delle due basi (B + b) e come altezza quella del trapezio: il triangolo calcola già (base × altezza) / 2, quindi il numero che esce è l’area del trapezio. Per il quadrato usa la scheda del rettangolo con base e altezza uguali.
Le formule delle altre figure piane e dei solidi sono raccolte nella guida alle formule di area e volume.
Domande frequenti
Il trapezio rettangolo ha una formula dell’area diversa?
No, è sempre A = (B + b) × h / 2. L’unica differenza è comoda: il lato perpendicolare alle basi è già l’altezza, quindi spesso non serve Pitagora.
Si può calcolare l’area del trapezio senza l’altezza?
Sì, se conosci abbastanza lati da ricavarla. Nel trapezio isoscele e in quello rettangolo bastano basi e lato obliquo, come negli esempi sopra. In un trapezio scaleno con tutti e quattro i lati il percorso è più lungo: si toglie un parallelogramma, resta un triangolo con lati noti, se ne trova l’area con la formula di Erone e da lì l’altezza.
Il quadrato è un rettangolo?
Sì: ha quattro angoli retti, come ogni rettangolo, con in più i lati tutti uguali. Per questo l’area del quadrato è un caso particolare di base per altezza.
Quanto misura la diagonale di un quadrato di lato 1?
√2, cioè circa 1,414. Per qualunque altro lato basta moltiplicare: lato 3 cm, diagonale circa 4,24 cm.
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